### Guia Completo para Estudar a Conjectura MLC (Local Conectividade do Conjunto de Mandelbrot)
A conjectura **MLC** (Mandelbrot Locally Connected) é um dos problemas mais desafiadores na dinâmica complexa. Abaixo está um plano detalhado para sua formação acadêmica, com recomendações de disciplinas, habilidades, bibliografia e estratégias para cada etapa.
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## **Graduação (Bacharelado em Matemática)**
### **Objetivos:**
- Construir base sólida em análise complexa, topologia, teoria de funções e dinâmica discreta.
- Explorar tópicos introdutórios em sistemas dinâmicos e fractais.
### **Disciplinas Obrigatórias:**
1. **Análise Complexa**: Funções analíticas, séries de Laurent, teorema da aplicação de Riemann.
- Livro: *Complex Analysis* (Gamelin).
2. **Topologia Geral**: Espaços topológicos, conectividade, compactificação.
- Livro: *Topology* (Munkres).
3. **Análise Real**: Medida e integração, espaços de Banach/Hilbert.
- Livro: *Real Analysis* (Royden).
4. **Sistemas Dinâmicos Discretos**: Iterações de funções, atratores, caos.
- Livro: *A First Course in Chaotic Dynamical Systems* (Devaney).
### **Habilidades Complementares:**
- Programação (Python/Matlab) para visualizar o conjunto de Mandelbrot e conjuntos de Julia.
- Leitura de artigos introdutórios (ex.: surveys de John Milnor).
### **Bibliografia Inicial:**
- **Básico**:
- *Complex Dynamics* (Carleson & Gamelin) – Capítulos 1–3.
- *Iteration of Rational Functions* (Beardon) – Introdução à dinâmica complexa.
### **Projetos:**
- Implementar algoritmos para gerar fractais.
- Estudar propriedades básicas do conjunto de Mandelbrot (ex.: conexão entre pontos periódicos e estrutura do conjunto).
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## **Mestrado**
### **Objetivos:**
- Dominar dinâmica complexa unidimensional, teoria de Julia e técnicas avançadas em análise complexa.
- Explorar resultados clássicos relacionados à MLC (ex.: trabalhos de Douady, Hubbard, Yoccoz).
### **Disciplinas Recomendadas:**
1. **Dinâmica Complexa**:
- Livro: *Dynamics in One Complex Variable* (Milnor) – Fundamento essencial.
2. **Teoria de Medidas Conformes e Teichmüller**:
- Livro: *Teichmüller Theory* (Hubbard).
3. **Teoria de Renormalização**:
- Livro: *Complex Dynamics and Renormalization* (McMullen).
### **Habilidades Avançadas:**
- Leitura crítica de artigos clássicos (ex.: Douady-Hubbard sobre o teorema do lago de Ljapunov).
- Participação em seminários sobre dinâmica complexa.
### **Bibliografia Intermediária:**
- **Avançado**:
- *The Mandelbrot Set, Theme and Variations* (Tan Lei) – Coleção de artigos sobre MLC.
- *Local Connectivity of Julia Sets and Bifurcation Currents* (Lyubich).
### **Trabalho de Dissertação:**
- Estudar a conectividade local de conjuntos de Julia para polinômios quadráticos.
- Explorar a relação entre MLC e a conjectura de densidade de hiperbolicidade.
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## **Doutorado**
### **Objetivos:**
- Especializar-se em técnicas modernas de dinâmica complexa, como **puzzles de Yoccoz**, **renormalização**, e **quaseconformidade**.
- Contribuir originalmente para problemas relacionados à MLC.
### **Áreas de Foco:**
1. **Puzzles de Yoccoz e Combinatória**:
- Artigos de Jean-Christophe Yoccoz e Mikhail Lyubich.
2. **Renormalização Hiperbólica**:
- Livro: *Renormalization and 3-Manifolds Which Fiber over the Circle* (McMullen).
3. **Teoria de Teichmüller em Dinâmica**:
- Artigos de Curtis McMullen e Mitsuhiro Shishikura.
### **Habilidades Críticas:**
- Domínio de técnicas de **quaseconformal surgery** (ex.: Shishikura).
- Participação em workshops internacionais (ex.: encontros da Sociedade Brasileira de Matemática ou IMS-Simons).
### **Bibliografia Avançada:**
- **Especializada**:
- *Holomorphic Dynamics* (Fong & Yin) – Técnicas modernas.
- Artigos de Misha Lyubich (*Dynamics of Quadratic Polynomials*).
- Trabalhos de Xavier Buff e Arnaud Chéritat sobre parametrização do bordo do Mandelbrot.
### **Tese de Doutorado:**
- Investigar condições suficientes para MLC usando renormalização.
- Estudar a conjectura de "no invariant line fields" e sua relação com MLC.
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## **Pós-Doutorado**
### **Objetivos:**
- Consolidar expertise em dinâmica complexa e colaborar com pesquisadores líderes.
- Explorar conexões entre MLC e outras áreas (ex.: física matemática, teoria de números).
### **Estratégias:**
- **Colaborações**: Trabalhar com especialistas como Misha Lyubich (Stony Brook), Artur Avila (IMPA/Paris) ou Xavier Buff (Toulouse).
- **Conferências**: Participar de eventos como o Congresso Internacional de Matemáticos (ICM) ou workshops em Oberwolfach.
- **Financiamento**: Buscar bolsas no CNPq, CAPES ou instituições internacionais (ex.: Clay Mathematics Institute).
### **Tópicos Emergentes:**
- Dinâmica não-arquimediana e conexões com a geometria tropical.
- Aplicações de MLC em teorias de cordas e física estatística.
### **Bibliografia de Pesquisa:**
- Pré-publicações no arXiv.org (palavras-chave: Mandelbrot set, local connectivity, renormalization).
- Artigos recentes de Dzmitry Dudko e Dylan Thurston.
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## **Bibliografia Recomendada**
### **Básica (Graduação):**
1. *Complex Analysis* – Theodore W. Gamelin.
2. *Complex Dynamics* – Carleson & Gamelin (Capítulos 1–3).
3. *A First Course in Chaotic Dynamical Systems* – Robert Devaney.
### **Intermediária (Mestrado):**
1. *Dynamics in One Complex Variable* – John Milnor.
2. *The Mandelbrot Set, Theme and Variations* – Tan Lei.
3. *Complex Dynamics and Renormalization* – Curt McMullen.
### **Avançada (Doutorado e Pós-Doc):**
1. *Holomorphic Dynamics* – S. Fong & Y. Yin.
2. *Dynamics of Quadratic Polynomials* – Misha Lyubich (Partes I–II).
3. *Renormalization and 3-Manifolds Which Fiber over the Circle* – Curt McMullen.
### **Artigos Clássicos:**
- Douady & Hubbard (1985): *Étude dynamique des polynômes complexes*.
- Yoccoz (1995): *Petits diviseurs en dimension 1*.
- Shishikura (1998): *The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set*.
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## **Instituições e Colaborações no Brasil e Exterior**
- **Brasil**:
- **IMPA** (Rio de Janeiro): Centro de excelência em dinâmica complexa.
- **USP** e **Unicamp**: Grupos de pesquisa em sistemas dinâmicos.
- **Exterior**:
- **Stony Brook University** (EUA): Grupo de Misha Lyubich.
- **Université de Toulouse** (França): Xavier Buff.
- **KIAS** (Coreia do Sul): Pesquisas em renormalização.
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## **Dicas Práticas**
1. **Domine o inglês técnico** e aprenda a ler rapidamente artigos em francês (ex.: trabalhos de Yoccoz).
2. Use softwares como **Dynamics Explorer** ou **UltraFractal** para experimentação visual.
3. Participe de grupos de estudo com colegas para discutir artigos complexos.
4. Mantenha contato com orientadores especializados em sistemas dinâmicos.
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## **Conclusão**
A conjectura MLC exige décadas de dedicação, mas o caminho é recompensador. Foque em construir uma base sólida, participe de colaborações internacionais e esteja preparado para enfrentar técnicas altamente sofisticadas. Mesmo que a conjectura permaneça aberta, seu estudo impulsionará avanços em dinâmica complexa e áreas correlatas. Boa sorte! 🌟