### Lista de Problemas em Aberto em Álgebra Homológica: Candidatos à Medalha Fields ou Prêmio Abel
#### 1. **Conjectura do Telescópio em Categorias Trianguladas**
**Contextualização histórica**:
Proposta por Bousfield e Ravenel na década de 1980, a conjectura surge da teoria homotópica estável e busca classificar subcategorias telescópicas em categorias trianguladas, como a categoria estável de homotopia. Sua versão algebrizada foi estendida a categorias derivadas de anéis e esquemas.
**Estado atual da pesquisa**:
Recentes avanços por Balmer, Krause e Stevenson relacionam a conjectura a invariantes de categorias tensoriais e geometria não comutativa. Obstáculos técnicos incluem a complexidade das estruturas de triangulação e a falta de métodos gerais para lidar com localizações infinitas.
**Motivação para premiação**:
Uma solução unificaria teorias em topologia algébrica, geometria algébrica e representações, oferecendo uma compreensão profunda da estrutura de categorias derivadas e suas aplicações em física matemática (e.g., teorias quânticas de campos).
**Referências-chave**:
- Ravenel, D. *Nilpotence and Periodicity in Stable Homotopy Theory* (1992).
- Balmer, P. *The Spectrum of Prime Ideals in Tensor Triangulated Categories* (2005).
- Pesquisadores: Paul Balmer, Greg Stevenson.
**Estratégias promissoras**:
Uso de categorias derivadas infinitas (∞-categorias), teoria de motivos não comutativos e técnicas de localização via funtores de suporte.
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#### 2. **Classificação de Subcategorias Grossas e a Hipótese Geradora**
**Contextualização histórica**:
Motivada por conjecturas de Devinatz–Hopkins–Smith em homotopia estável, busca-se classificar subcategorias grossas em categorias trianguladas, como a categoria estável de módulos sobre álgebras de grupo. A "hipótese geradora" (Generating Hypothesis) de Hopkins é um caso emblemático.
**Estado atual da pesquisa**:
Resultados parciais por Benson, Iyengar e Krause em categorias de módulos sobre álgebras de Hopf e anéis diferenciáveis. Obstáculos incluem a falta de correspondência geral entre subcategorias e classes topológicas.
**Motivação para premiação**:
Revitalizaria a teoria de representações modulares e a geometria não comutativa, com impacto em teoria dos números e teoria das cordas.
**Referências-chave**:
- Benson, D. *Representations of Elementary Abelian p-Groups* (1991).
- Iyengar, S. & Krause, H. *Homological Dimensions Over Differential Graded Algebras* (2003).
**Estratégias promissoras**:
Combinação de álgebra homológica não comutativa com métodos computacionais via categorias de Calabi–Yau.
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#### 3. **Conjecturas de Kontsevich em Motivos Não Comutativos**
**Contextualização histórica**:
Kontsevich propôs na década de 1990 que motivos não comutativos (via categorias A_∞) codificariam invariantes universais de variedades algébricas. A conjectura central liga a teoria de Hodge não comutativa à física de espelhos.
**Estado atual da pesquisa**:
Progressos por Tabuada e Orlov em categorias de motives não comutativos, mas a conjectura de perímetro (período de motivos vs. integrais de Feynman) permanece aberta.
**Motivação para premiação**:
Unificaria geometria algébrica, teoria de cordas e teoria das categorias, com aplicações em física matemática e teoria de números transcendentais.
**Referências-chave**:
- Kontsevich, M. *Homological Algebra of Mirror Symmetry* (1994).
- Tabuada, G. *Noncommutative Motives* (2015).
**Estratégias promissoras**:
Uso de teoria de categorias superiores e métodos de quantização geométrica.
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#### 4. **Simetria Espelho Homológica (HMS) e Equivalências Derivadas**
**Contextualização histórica**:
Conjecturada por Kontsevich em 1994, a HMS propõe uma equivalência entre a categoria Fukaya de uma variedade simplética e a categoria derivada de feixes coerentes de sua "dupla" de espelho.
**Estado atual da pesquisa**:
Casos específicos resolvidos por Seidel (superfícies K3) e Auroux (variedades toricas), mas a conjectura geral permanece aberta devido à dificuldade de construir o funtor de espelho em dimensão alta.
**Motivação para premiação**:
Validaria o programa de espelhamento em física teórica e abriria novas linhas em geometria birracional e teoria de representações.
**Referências-chave**:
- Kontsevich, M. *Lectures on Deformation Theory* (1997).
- Auroux, D. *Mirror Symmetry and T-Branes* (2020).
**Estratégias promissoras**:
Técnicas de geometria de contato, categorias de Lagrangianas singulares e teoria de Floer.
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#### 5. **Teoremas de Anulação Generalizados em Álgebra Comutativa**
**Contextualização histórica**:
Conjecturas como a de Hochster (1970) e o "New Intersection Theorem" buscam condições gerais para anulação de módulos de homologia local.
**Estado atual da pesquisa**:
Resoluções parciais via teoria de anéis Cohen–Macaulay e técnicas de álgebra homológica não abeliana. Obstáculos incluem a falta de métodos para anéis singulares.
**Motivação para premiação**:
Impactariam diretamente a geometria algébrica, teoria de singularidades e criptografia baseada em curvas elípticas.
**Referências-chave**:
- Hochster, M. *Canonical Elements in Local Cohomology Modules* (1973).
- Pesquisadores: Srikanth Iyengar, Craig Huneke.
**Estratégias promissoras**:
Abordagens via álgebra de operadores diferenciais e teoria de D-modules.
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### Estratégias Transversais Promissoras
- **Categorias Derivadas Infinitas**: Ferramentas de teoria de ∞-categorias (Lurie, HTT).
- **Métodos Computacionais**: Algoritmos para homologia persistente e teoria de Morse discreta.
- **Física Matemática**: Dualidades em teorias quânticas e categorias modulares.
Esses problemas encapsulam a profundidade e a interdisciplinaridade da álgebra homológica contemporânea, representando desafios dignos das mais altas honrarias matemáticas.
