**Lista de Problemas em Aberto em Assistência à Prova Formal: Desafios com Potencial para Medalha Fields ou Prêmio Abel**

A seguir, são apresentados cinco problemas centrais na área de assistentes de prova, destacando-se por sua profundidade teórica, complexidade técnica e impacto interdisciplinar. Cada item inclui contexto histórico, estado atual da arte, motivação para reconhecimento científico e estratégias promissoras para solução.

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### **1. Formalização Completa do Teorema de Classificação de Grupos Simples Finitos**

**Contextualização histórica**:

O teorema de classificação de grupos simples finitos (CFSG) é um dos maiores esforços colaborativos na história da matemática, envolvendo mais de 100 autores e 10.000 páginas de provas entre 1955 e 1983. Sua validade depende de verificações manuais complexas, com lacunas ainda não resolvidas. Em 2012, Gonthier iniciou a formalização parcial do teorema usando o assistente **Coq**, motivado pela necessidade de garantir a correção lógica do resultado.

**Estado atual da pesquisa**:

O projeto **Lean** e sua biblioteca **mathlib** avançaram na formalização de álgebra e teoria de representação, mas o CFSG permanece incompleto. Obstáculos incluem a escala das provas (exigindo novas técnicas de modularização) e a falta de ferramentas para lidar com estruturas combinatórias complexas. Conjecturas relacionadas, como a hipótese de classificação em características ímpares, dependem de formalizações robustas.

**Motivação para premiação**:

Uma formalização completa do CFSG estabeleceria um novo padrão de rigor em matemática, eliminando dúvidas sobre a validade do teorema. Além disso, incentivaria a formalização de outras áreas, como teoria de categorias e geometria algébrica, transformando o modo como a comunidade matemática aborda a verificação de resultados.

**Referências-chave**:

- Gonthier, G. (2013). *Formal Proof—The Four-Color Theorem*.

- Aschbacher, M. (2001). *The Status of the Classification of the Finite Simple Groups*.

- Pesquisadores: Georges Gonthier, Ingo Blechschmidt, Kevin Buzzard.

**Estratégias promissoras**:

- Uso de **programação funcional com tipos dependentes** (como em Lean ou Coq) para modularizar provas.

- Integração de **IA simbólica** para automatizar passos rotineiros em teoria de grupos.

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### **2. Interpretação Computacional da Teoria Homotópica de Tipos (HoTT)**

**Contextualização histórica**:

Proposta por Vladimir Voevodsky em 2006, a HoTT une teoria de tipos intuicionista (usada em assistentes como **Agda** e **Coq**) à topologia homotópica. A conjectura central é a existência de uma **interpretação computacional da univalência**, que permitiria tratar igualdades entre tipos como equivalências homotópicas. Voevodsky postulou axiomas, mas uma implementação algorítmica permanece aberta.

**Estado atual da pesquisa**:

Sistemas como **Cubical Agda** implementam versões parciais da univalência, mas carecem da generalidade teórica desejada. Obstáculos técnicos incluem a definição de uma **semântica operacional** para tipos homotópicos e a integração com cálculo lambda estendido.

**Motivação para premiação**:

Uma interpretação computacional da HoTT revolucionaria a fundamentação da matemática, unificando lógica construtiva e topologia. Além disso, abriria aplicações em verificação de programas concorrentes e física matemática (ex.: teorias quânticas de campos).

**Referências-chave**:

- Voevodsky, V. (2014). *The Equivalence Axiom and Univalent Models of Type Theory*.

- Awodey, S. (2012). *Type Theory and Homotopy*.

- Pesquisadores: Thierry Coquand, Steve Awodey, Emily Riehl.

**Estratégias promissoras**:

- Desenvolvimento de **modelos cúbicos computáveis** e **teorias de tipos com intervalos primitivos**.

- Exploração de **categorias de fibração** para modelar tipos dependentes.

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### **3. Automação Escalável em Lógica de Ordem Superior via IA**

**Contextualização histórica**:

Assistentes de prova como **Isabelle/HOL** e **Lean** dependem de interação humana para guiar provas em ordem superior, essencial para análise real e teoria de medida. Desde os anos 2010, tentativas de integrar IA simbólica (ex.: resolução automatizada) falharam devido à complexidade combinatorial e à semântica ambígua de quantificadores.

**Estado atual da pesquisa**:

Sistemas como **DeepHOL** (Google, 2019) e **TacticToe** (Inria, 2020) usam aprendizado de máquina para selecionar táticas, mas enfrentam limitações em escalabilidade e generalização. Obstáculos incluem a falta de benchmarks padronizados e a integração de **provas com modelos probabilísticos**.

**Motivação para premiação**:

Uma IA capaz de automatizar provas em ordem superior permitiria a verificação de teoremas complexos em análise funcional, teoria de números e física teórica, reduzindo drasticamente o tempo humano necessário. Isso também aceleraria a formalização de matemática aplicada.

**Referências-chave**:

- Kaliszyk, C. & Urban, J. (2015). *FEMaLeCoP: Fairly Efficient Machine Learning Connection Prover*.

- Bansal, K. et al. (2019). *DeepHOL: A Framework for Interactive Theorem Proving*.

- Pesquisadores: Josef Urban, Christian Szegedy, Leonardo de Moura.

**Estratégias promissoras**:

- Combinação de **redes neurais com atenção** e **busca heurística simbólica**.

- Uso de **meta-aprendizado** para adaptar táticas a diferentes domínios matemáticos.

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### **4. Interoperabilidade Semântica entre Assistência de Prova via Teoria de Categorias**

**Contextualização histórica**:

Assistentes de prova como **Lean**, **Coq**, **ACL2** e **Metamath** usam fundações lógicas distintas (ex.: teoria de tipos vs. teoria de conjuntos), dificultando o compartilhamento de bibliotecas. Desde 2015, propostas como **MathScheme** buscam uma "lingua franca" baseada em categorias, mas a falta de consenso teórico impede avanços.

**Estado atual da pesquisa**:

Projetos como **UniMath** (Coq) e **The QED Manifesto** (1994) vislumbram uma biblioteca global de matemática formalizada. Obstáculos incluem a tradução de conceitos como "esquema" (álgebra) ou "espaço topológico" entre sistemas e a preservação de propriedades lógicas durante a tradução.

**Motivação para premiação**:

Uma estrutura semântica universal transformaria a colaboração matemática, permitindo reutilização de provas entre disciplinas. Também facilitaria aplicações em ciência de dados (ex.: validação cruzada de modelos) e engenharia de software crítico.

**Referências-chave**:

- Wiedijk, F. (2006). *The Seventeen Provers of the World*.

- Aczel, P. et al. (2019). *A Universe of Categories in UniMath*.

- Pesquisadores: Tom Hales, Peter Aczel, Andrej Bauer.

**Estratégias promissoras**:

- Uso de **diagramas comutativos** e **funtores adjuntos** para mapear estruturas entre sistemas.

- Desenvolvimento de **compiladores lógicos** baseados em categorias de topos.

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### **5. Verificação Formal de Sistemas de Aprendizado de Máquina (ML)**

**Contextualização histórica**:

Algoritmos de ML, como redes neurais, são amplamente usados em segurança crítica (ex.: medicina, aviação), mas carecem de garantias formais. Desde 2020, projetos como **VeriML** e **Coq4MLO** buscam formalizar propriedades de convergência, robustez e imparcialidade em ML, integrando assistentes de prova a frameworks como TensorFlow.

**Estado atual da pesquisa**:

Resultados parciais incluem a formalização de algoritmos simples (ex.: regressão linear em **Isabelle**) e verificação de propriedades locais em redes neurais. Obstáculos incluem a falta de formalização de espaços métricos probabilísticos e a complexidade de provar propriedades globais (ex.: generalização).

**Motivação para premiação**:

Uma estrutura formal para ML garantiria a segurança e ética de algoritmos em larga escala, com impacto em políticas públicas e indústria. Também integraria teorias de complexidade computacional e probabilidade à prática de IA.

**Referências-chave**:

- Ezudheen, P. et al. (2018). *Formalizing Neural Network Robustness with Coq*.

- Harrison, J. et al. (2022). *Formal Verification of Machine Learning Pipelines*.

- Pesquisadores: Justin Hsu, Swarat Chaudhuri, Adam Chlipala.

**Estratégias promissoras**:

- Uso de **lógica probabilística** e **álgebra linear formalizada** para modelar redes neurais.

- Desenvolvimento de **tipos dependentes para funções estatísticas**.

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**Conclusão**

Esses problemas representam fronteiras entre matemática, ciência da computação e filosofia da ciência. Sua resolução exigirá colaboração interdisciplinar, avanços em teorias lógicas e inovação em ferramentas computacionais. O impacto potencial — desde a fundamentação da matemática até a segurança de IA — justifica plenamente o interesse por prêmios como a Medalha Fields ou o Prêmio Abel.